Elektrotechnik

Luft- und Raumfahrttechnik Bachelor, 1. Semester

David Straub

Organisatorisches

• Moodle-Kurs: https://link.hm.edu/hnyu
• Matrix-Raum: https://link.hm.edu/83kf
• Sprechstunde: Do. 10:30–11:30, Raum, B 374
• Literatur
  • Pregla – OPAC
  • Hagmann – OPAC
  • Hering u.a. – online
  • Fischer – online
• Vorlesungsskript Prof. Palme u.a.: https://palme.userweb.mwn.de/
• Prüfung: schriftlich, 60 Minuten, keine Hilfsmittel

Gliederung des Kurses

1. Einführung (Physikalische Größen, Einheiten)
2. Das elektrische Feld (Ladungen, Kräfte, Felder, Potential, Spannung, Kapazität, Kondensatoren)
3. Gleichstrom (Stromstärke, Widerstand, Stromkreisberechnungen, Energie, Leistung)
4. Magnetismus (Feld in Vakuum und Materie, Kräfte, magnetischer Kreis)
5. Elektromagnetische Induktion (Induktion, Selbstinduktion, Energie)
6. Wechselstrom (Komplexe Wechselstromrechnung, Schaltungen, Leistung)
7. Drehstrom (Dreiphasensystem)

Einführung

1. Physikalische Größen
2. Internationales Einheitensystem (SI)

Physikalische Größen

... sind messbare Eigenschaften eines Systems.

Skalare Größen: werden durch einen Zahlenwert und eine Einheit beschrieben.

Beispiele:

• (Zeit)
• (Masse)
• (Temperaturdifferenz)

Rechnen mit Einheiten

• Nur Größen mit gleichen Einheiten können addiert oder subtrahiert werden

• Bei Multiplikation/Division von Größen werden die Einheiten multipliziert/dividiert

Hinweis: im Textsatz werden Einheiten immer aufrecht geschrieben, Variablen kursiv.

Vektorielle physikalische Größen

... sind physikalische Größen, die durch einen Betrag und eine Richtung beschrieben werden. Der Betrag wird durch einen Zahlenwert und eine Einheit beschrieben.

Der Zahlenwert des Betrags ist immer positiv.

Beispiele:

• (Geschwindigkeit)
• (Beschleunigung)

Das Internationale Einheitensystem (SI)

Naturkonstanten und SI-Einheiten

Abgeleitete Einheiten

Von den Basisgrößen lassen sich durch mathematische Operationen abgeleitete Einheiten bilden.
Beispiele für abgeleitete Einheiten:

• Kraft:
  (Newton)

• Energie/Arbeit:
  (Joule)

• Leistung:
  (Watt)

Dimensionsanalyse

Jede physikalische Größe hat – unabängig von Einheit oder Zahlenwert – eine Dimension, die beschreibt, wie die Größe aus den Grundgrößen zusammengesetzt ist.

Beispiele:

• Geschwindigkeit:
• Kraft:
• Winkel: (dimensionslos)

Beide Seiten einer Gleichung müssen dieselbe Dimension haben!

SI-Präfixe (alltäglich)

SI-Präfixe (nicht alltäglich)

µ & °C: praktische Tipps

• Mikro: µ (griechischer Buchstabe "My")

  • Deutsches Tastaturlayout: AltGr + m

• Grad Celsius: °C (Gradzeichen + Großbuchstabe C)

  • Deutsches Tastaturlayout: Shift + ^ + C

Nur in Systemen, die diese Schriftzeichen nicht unterstützen (ASCII) laut DIN 66030:2002-05:

• µ -> u
• °C -> Cel

Nicht-SI-Einheiten in der Luftfahrt

Immer noch weit verbreitet:

• Flughöhe in Fuß
  • 1 ft = 0,3048 m
• Entfernung in Seemeilen
  • 1 NM = 1852 m
• Geschwindigkeit in Knoten
  • 1 kt = 1 NM/h = 1,852 km/h

Mars Climate Orbiter

https://www.youtube.com/watch?v=MfavzjbZzl8

Das elektrische Feld

1. Elektrische Ladung
2. Coulomb’sches Gesetz
3. Elektrisches Feld im Vakuum
4. Feldlinien und Gauß’sches Gesetz
5. Elektrisches Feld in Materie
6. Potential, Spannung, Arbeit
7. Homogenes Feld und Kondensatoren

Die vier fundamentalen Wechselwirkungen

1. Gravitation
   • Hält das Sonnensystem zusammen – wirkt auf Masse
2. Elektromagnetismus
   • Hält Atome und Moleküle zusammen – wirkt auf elektrische Ladung
3. Starke Wechselwirkung
   • Hält Atomkerne zusammen
4. Schwache Wechselwirkung
   • Verantwortlich für radioaktiven Zerfall

Elektrische Ladung (electric charge)

• Alle Materie besteht aus Elementarteilchen, von denen einige elektrische Ladungen tragen
• Elektrische Ladungen treten in zwei Arten auf: positive und negative Ladungen (Vorzeichen: Konvention!)
• Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an

Aufbau der Materie

• Atome bestehen aus positiv geladenen Protonen, neutralen Neutronen und negativ geladenen Elektronen
• Protonen und Neutronen bilden den Atomkern
• Elektronen bewegen sich in der Atomhülle um den Atomkern

Elementarladung

• Elektrische Ladungen sind immer ganzzahlige Vielfache der Elementarladung (Definition des Coulombs)
  • Elektron: (!)
  • Proton:
  • Up-Quark: , Down-Quark:
• Man sagt, die Ladung sei quantisiert

Coulumb’sches Gesetz – Experiment

https://www.youtube.com/watch?v=9mFlELwuctI

Coulomb’sches Gesetz (Coulomb’s law)

• Experimente haben gezeigt, dass die Kraft zwischen zwei Punktladungen und proportional zur Größe der Ladungen und umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstands ist
• Mathematisch wird dies durch das Coulomb’sche Gesetz beschrieben:

ist abhängig vom Einheitensystem. Im SI-System gilt: , wobei die elektrische Feldkonstante ist, .

Analogie zur Schwerkraft

Newtonsches Gravitationsgesetz: Kraft zwischen zwei Himmelskörpern

: Gravitationskonstante,

Beispiel: Relative Stärke von Coulomb- und Gravitationskraft

• Proton: ,
• Elektron: ,

Elektromagnetismus im Alltag

Fast alle alltäglichen physikalischen Phänomene werden von der elektromagnetischen Wechselwirkung bestimmt!

Die Gravitation spielt nur eine Rolle, da

• es keine negativen Massen gibt -> immer anziehend
• die elektrischen Ladungen von Elektronen und Protonen exakt aufheben

Elektrische Feldstärke (electric field [strength])

• Ein elektrisch geladenes Teilchen übt eine Kraft auf andere elektrisch geladene Teilchen aus
• Diese Kraft ist umso größer, je größer die Ladung der Probeteilchen ist
• Elektrische Feldstärke: Kraft pro Ladungseinheit, die auf eine Probeladung wirkt

Feld = ortsabhängige physikalische Größe (Vektorfeld/Skalarfeld)

Elektrisches Feld einer Punktladung

Die elektrische Feldstärke im Abstand einer Punktladung ist:

Feldlinien

• Die Feldlinien eines elektrischen Feldes sind Linien, die die Richtung und Stärke des Feldes darstellen
• Sie verlaufen von positiven zu negativen Ladungen und zeigen die Richtung der Kraft an, die auf eine positive Probeladung wirken würde
• Die Dichte der Feldlinien ist proportional zur Stärke des elektrischen Feldes: Je dichter die Linien, desto stärker das Feld

Superpositionsprinzip

Das elektrische Feld mehrerer (diskreter) Ladungen ist die Vektorsumme der Felder der einzelnen Ladungen

Übergang zu kontinuierlicher Ladungsverteilung: Integral

Feldlinien: Beispiele

• Punktladung
• Zwei gegensätzliche Punktladungen (Dipol)
• Zwei gleichnamige Punktladungen
• Positiv geladene Ebene
• Zwei entgegengesetzt geladene Platten (Plattenkondensator)

Elektrische Flussdichte (electric flux density)

Fluss durch eine Fläche :

Elektrische Flussdichte einer Punktladung

Die elektrische Flussdichte im Abstand einer Punktladung ist:

Für eine konstante Flussdichte auf der Fläche gilt:

Fluss durch geschlossene Oberflächen

Satz von Gauß (Gauss’s law)

Der elektrische Fluss durch eine geschlossene Oberfläche ist gleich der eingeschlossenen Ladung:

Beispiel: Kugelsymmetrische Ladungsverteilung

Für eine Punktladung im Zentrum einer Kugel mit Radius gilt:

Daraus folgt:

Beispiel: Unendlich langer, gerader Leiter

Für einen unendlich langen Leiter mit Linienladungsdichte verwenden wir eine zylindrische Oberfläche (Radius , Länge ).

Symmetrie: ist radial und konstant auf der Mantelfläche

Ergebnis:

Elektrisches Feld in Materie

• In nicht oder schwach leitenden Materialien können elektrische Felder zu Polarisation führen.
• Bei der Polarisation richten sich die positiven und negativen Ladungen innerhalb des Materials unter dem Einfluss des elektrischen Feldes neu aus.
• Dies führt zu einer Verschiebung der Ladungszentren und erzeugt ein internes elektrisches Feld, das dem äußeren Feld entgegenwirkt.
• Solche polarisierbaren Materialien nennt man Dielektrika.

Abschwächung des elektrischen Feldes in Dielektrika

Definition:

mit Permittivitätszahl (auch relative Permittivität). Beispiele:

Elektrische Flussdichte in Dielektrika

Konvention: man vereinbart, dass die elektrische Flussdichte sich immer auf das durch die freien Ladungen erzeugte Feld bezieht.

Polarisation

heißt daher auch (veraltet) Elektrische Verschiebungsdichte (electric displacement field).

Vorteil: der Satz von Gauß gilt unverändert, wenn man nur die freien Ladungen berücksichtigt:

Elektrische Arbeit

Bewegung einer positiven Probeladung im Feld einer positiven Punktladung

: : Arbeit wird freigesetzt
: : Arbeit muss aufgebracht werden

Vgl. Mechanik:

Hier: ist abhängig von !

Elektrische Arbeit und Potential

Integral:

Elektrisches Potential einer Punktladung

Das elektrisches Potential im Abstand von einer Punktladung :

Einheit: (Volt)

Punkte gleichen Potentials bilden Äquipotentialflächen.

Analogie: Gravitationspotential

Potentielle Energie bzgl. Referenzhöhe:

• Höhenlinien sind Äquipotentiallinien
• Die Kraft wirkt immer in Richtung des stärksten Gefälles (senkrecht zu den Äquipotentiallinien)
• Die „Feldlinien“ sind nie in sich geschlossen

Potentialfelder

Elektrostatische Felder sind Potentialfelder oder auch wirbelfreie Felder. Für sie gilt:

• Feldlinien beginnen und enden auf Ladungen („Quellen“ oder „Senken“)
• Feldlinien sind nie in sich geschlossen
• Das Feld lässt sich als Gradient (Richtungsableitung) eines Skalarfeldes (Potential) darstellen

Weitere Beispiele für Potentialfelder:

• Schwerkraft auf der Erdoberfläche (2D)
• Schwerkraft zwischen Himmelskörpern (3D)
• Wärmefluss in Festkörpern (1D, 2D, 3D)
• Grundwasserstrom (3D) (nur solange die Strömung wirbelfrei ist!)

Spannung & Arbeit

Elektrische Spannung (electric voltage)

Die elektrische Spannung ist definiert als Potentialdifferenz:

Einheit: (Volt)

Elektrische Arbeit (electric field work)

Die elektrische Arbeit ist das Produkt aus Ladung und Spannung:

Einheit: (Joule)

Die elektrische Arbeit ist unabhängig vom Weg!

Beziehung zwischen elektrischem Feld und Spannung

Für die elektrische Spannung gilt allgemein:

Homogenes elektrisches Feld

Ein homogenes elektrisches Feld ist durch konstante Feldstärke und parallele Feldlinien gekennzeichnet.

Wichtige Eigenschaften:

• Konstante Feldstärke in Betrag und Richtung
• Parallele Feldlinien
• Äquipotentialflächen stehen senkrecht zu den Feldlinien
• Die Spannung zwischen zwei Punkten ist , wobei der Abstand in Feldrichtung ist

Homogenes Feld mit dem Satz von Gauß: linke Seite

Unendlich ausgedehnte, gleichmäßig geladene Ebene mit Flächenladungsdichte

Gesucht: Elektrische Feldstärke im Abstand von der Ebene

Ansatz: Anwendung des Satzes von Gauß mit einem zylindrischen Gauß'schen Volumen

Gauß'sche Fläche: Zylinder mit Grundfläche und Achse senkrecht zur geladenen Ebene

• Mantelfläche:
• Grundflächen:

Homogenes Feld mit dem Satz von Gauß: rechte Seite

Eingeschlossene Ladung:

Satz von Gauß:

Ergebnis: Das Feld ist homogen und unabhängig vom Abstand zur Ebene.

Kondensatoren (capacitors)

Kondensatoren sind elektrische Bauelemente, die elektrische Ladung speichern können.

Die gespeicherte Ladung für eine gegebene Spannung wird bezeichnet als:

Kapazität (capacitance)

Einheit: (Farad)

Kapazität ≠ Kapazität

Die Kapazität (capacity) einer Batterie ist eine Ladungsmenge!

z.B.:

Nicht zu verwechseln mit der Kapazität (capacitance) eines Kondensators in Farad!

Plattenkondensator

Kapazität steigt mit:

• Fläche der Platten
• relativer Permittivität des Dielektrikums
• Abnahme des Plattenabstands

Kugelkondensator

Ein Kugelkondensator besteht aus zwei konzentrischen leitenden Kugelschalen mit den Radien (innen) und (außen).

Kugelkondensator: Herleitung mit dem Satz von Gauß

Elektrisches Feld (Satz von Gauß):

Kapazität des Kugelkondensators

Spannung zwischen den Kugeln:

Kapazität:

Zylinderkondensator

Ein Zylinderkondensator besteht aus zwei koaxialen leitenden Zylindern mit den Radien (innen) und (außen) und der Länge .

Zylinderkondensator: Herleitung mit dem Satz von Gauß

Gesucht: Elektrisches Feld zwischen den Zylindern

Ansatz: Satz von Gauß mit zylindrischer Gauß'scher Fläche (Radius , Länge )

Symmetrie: Das Feld zeigt radial nach außen, konstant auf Zylinderflächen

• Mantelfläche:
• Grundflächen:

Zylinderkondensator: Elektrisches Feld

Aus dem Satz von Gauß:

Ergebnis: Das elektrische Feld nimmt mit ab.

Zylinderkondensator: Spannung und Kapazität

Spannung zwischen den Zylindern:

Kapazität:

Energie im Kondensator

Im elektrischen Feld eines Kondensators ist Energie gespeichert, die bei Entladung wiedergewonnen werden kann.

Während des Aufladevorgangs nimmt die Spannung mit der Ladung kontinuierlich zu:

Die beim Aufladen gespeicherte Energie berechnet sich zu:

Parallelschaltung von Kondensatoren

Bei der Parallelschaltung von Kondensatoren addieren sich die Kapazitäten:

Eigenschaften:

• Gleiche Spannung an allen Kondensatoren
• Die Gesamtladung ist die Summe der Einzelladungen

Reihenschaltung von Kondensatoren

Bei der Reihenschaltung von Kondensatoren addieren sich die Kehrwerte der Kapazitäten:

Eigenschaften:

• Gleiche Ladung auf allen Kondensatoren
• Die Gesamtspannung ist die Summe der Einzelspannungen

Kondensatoren mit inhomogenen Dielektrika 1

Wenn ein Plattenkondensator aus zwei Bereichen mit unterschiedlichen Dielektrika besteht, berechnet sich die Gesamtkapazität als:

Dies entspricht einer Parallelschaltung von zwei Teilkondensatoren.

Kondensatoren mit inhomogenen Dielektrika 2

Wenn ein Plattenkondensator aus zwei hintereinander liegenden Schichten mit unterschiedlichen Dielektrika besteht, berechnet sich die Gesamtkapazität als:

Dies entspricht einer Reihenschaltung von zwei Teilkondensatoren.

Übersicht: Größen im elektrischen Feld

Quiz: Das Elektrische Feld

Warum spielt die Gravitation im atomaren Maßstab praktisch keine Rolle?

• A) Weil Protonen und Elektronen keine Masse besitzen
• B) Weil die elektromagnetischen Kräfte viel stärker sind als die Gravitationskräfte
• C) Weil Gravitation nur zwischen Himmelskörpern wirkt
• D) Weil sie durch Quantenmechanik verboten wird

Warum sind Atome trotz geladener Bestandteile nach außen elektrisch neutral?

• A) Weil sich Protonen und Neutronen ausgleichen
• B) Weil sich die gleiche Anzahl an Protonen (positiv) und Elektronen (negativ) kompensiert
• C) Weil Elektronen keine Ladung haben
• D) Weil neutrale Teilchen überwiegen

Was bedeutet, dass elektrische Ladung „quantisiert“ ist?

• A) Ladung existiert nur bei Quarks
• B) Ladung tritt nur in ganzzahligen Vielfachen einer kleinsten Einheit auf
• C) Ladung kann beliebige Werte annehmen
• D) Ladung hängt vom Beobachter ab

Was passiert mit der Kraft zwischen zwei Punktladungen nach dem Coulomb-Gesetz, wenn der Abstand halbiert wird?

• A) Sie halbiert sich
• B) Sie vervierfacht sich
• C) Sie verdoppelt sich
• D) Sie bleibt gleich

Was zeigt die Richtung einer elektrischen Feldlinie an?

• A) Die Bewegung einer negativen Probeladung
• B) Die Richtung der Kraft auf eine positive Probeladung
• C) Die Richtung der Polarisation
• D) Die Richtung minimaler Energie

Wann ist der Einsatz des Gaußschen Gesetzes besonders sinnvoll?

• A) Bei beliebigen Ladungsverteilungen
• B) Bei jeder einzelnen Punktladung
• C) Bei Systemen mit hoher Symmetrie (z. B. Kugel, Zylinder, Ebene)
• D) Nur bei negativ geladenen Objekten

Warum schwächt ein Dielektrikum das elektrische Feld?

• A) Weil es freie Elektronen enthält
• B) Weil es durch Polarisation ein Gegenfeld erzeugt
• C) Weil es Ladung vollständig abschirmt
• D) Weil es die Permittivität verringert

Warum ist die elektrische Arbeit beim Bewegen einer Ladung im elektrostatischen Feld wegunabhängig?

• A) Weil das Feld nur innerhalb von Leitern existiert
• B) Weil Feldlinien immer geschlossen sind
• C) Weil es sich um ein Potentialfeld handelt
• D) Weil die Kraft immer konstant ist

Was beschreibt das elektrische Potential physikalisch?

• A) Die Anzahl der Feldlinien
• B) Die potenzielle Energie pro Ladung
• C) Die Feldstärke unabhängig vom Ort
• D) Die Stärke der Polarisation

Gleichstrom

1. Stromstärke und Stromdichte
2. Widerstand und Ohm’sches Gesetz
3. Stromkreisberechnungen (Kirchhoff’sche Regeln)
4. Zweipoltheorie
5. Arbeit & Leistung

Elektrischer Strom (electric current)

Strom ist der gerichtete Fluss von elektrischer Ladung

• Stromdichte
  • : Geschwindigkeit positiver Ladungsträger
• Stromstärke

Stromrichtung & Ladungsträger

• zeigt in die Richtung, in die sich positive Ladung bewegt – egal ob die tatsächlichen Ladungsträger positiv oder negativ sind!
• Das ist auch die Zählrichtung der Stromstärke

Stromleitung in Metallen

• In Metallen gibt jedes Atom Elektronen ab, die sich frei im Gitter der positiv geladenen Atomrümpfe bewegen können („Elektronengas“)
• Die Ladungsdichte der Elektronen ist jederzeit konstant, da eine Ansammlung ein elektrisches Feld erzeugen würde, dass durch Abstoßung der Elektronen wieder ausgeglichen wird -> der Leiter ist überall elektrisch neutral

Metalle im elektrischen Feld

Klassisches Bild: erfährt das Elektronengas ein elektrisches Feld, werden die Elektronen beschleunigt, nach kurzer Zeit aber durch Stöße mit dem Metallgitter wieder abgebremst. Im Mittel ergibt sich dadurch eine konstante mittleren Geschwindigkeit , die Driftgeschwindigkeit. Sie geht entgegen der Feldrichtung , .

Zahlenbeispiel: Driftgeschwindigkeit im Kupferdraht

Kupfer, , :

• Dichte freier Elektronen:
• Ladungsträgerdichte:
• Stromdichte:
• Driftgeschwindigkeit: